矩阵篇（二）
2025-10-21 19:24:281 线性变换与矩阵
1.1 线性变换及其运算
定义 设
V
V
V 是数域
K
K
K 上的线性空间，
T
T
T 是
V
V
V 到自身的一个映射，使得对于
V
V
V 中的任意元素
x
\boldsymbol{x}
x 均存在唯一的
y
∈
V
\boldsymbol{y} \in V
y∈V 与之对应，则称
T
T
T 为
V
V
V 的一个变换或算子，记为：
T
(
x
)
=
y
(1-1)
T(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{y} \tag{1-1}
T(x)=y(1-1) 称
y
\boldsymbol{y}
y 为
x
\boldsymbol{x}
x 在变换
T
T
T 下的象，
x
\boldsymbol{x}
x 为
y
\boldsymbol{y}
y 的原象（或象源）。 如果数域
K
K
K 上的线性空间
V
V
V 的一个变换
T
T
T 具有下列性质（齐次可加性）：对任意
x
,
y
∈
V
，
k
,
l
∈
K
\boldsymbol{x, y} \in V，k, l \in K
x,y∈V，k,l∈K，都有，
T
(
k
x
+
l
y
)
=
k
T
(
x
)
+
l
T
(
y
)
(1-2)
T(k\boldsymbol{x} + l\boldsymbol{y}) = kT(\boldsymbol{x}) + lT(\boldsymbol{y}) \tag{1-2}
T(kx+ly)=kT(x)+lT(y)(1-2) 则称
T
T
T 为
V
V
V 的一个线性变换或线性算子。
性质 （1）线性变换把零元素仍变为零元素 （2）负元素的象为原来元素的象的负元素 （3）线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 注： 线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的， 变换后的情况与元素组和线性变换有关。若线性变换
T
T
T 将所有的元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为满秩的线性变换，其变换矩阵为满秩矩阵。
线性变换的运算 （1） 恒等变换(单位变换)
T
e
：
∀
x
∈
V
，
T
e
x
=
x
T_e： \forall \boldsymbol{x} \in V， T_e\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}
Te：∀x∈V，Tex=x （2） 零变换
T
0
：
∀
x
∈
V
，
T
0
x
=
0
T_0：\forall \boldsymbol{x} \in V， T_0\boldsymbol{x} = 0
T0：∀x∈V，T0x=0 （3） 变换的相等：
T
1
、
T
2
T_1、T_2
T1、T2 是
V
V
V 的两个线性变换，
∀
x
∈
V
\forall \boldsymbol{x} \in V
∀x∈V，均有
T
1
x
=
T
2
x
T_1\boldsymbol{x} = T_2\boldsymbol{x}
T1x=T2x，则称
T
1
=
T
2
T_1 = T_2
T1=T2 （4） 线性变换的和
T
1
+
T
2
：
∀
x
∈
V
，
(
T
1
+
T
2
)
x
=
T
1
x
+
T
2
x
T_1 + T_2：\forall \boldsymbol{x} \in V，(T_1+T_2)\boldsymbol{x} = T_1\boldsymbol{x} +T_2\boldsymbol{x}
T1+T2：∀x∈V，(T1+T2)x=T1x+T2x （5） 线性变换的数乘
k
T
：
∀
x
∈
V
，
(
k
T
)
x
=
k
(
T
x
)
kT：\forall \boldsymbol{x} \in V，(kT)\boldsymbol{x} = k(T\boldsymbol{x})
kT：∀x∈V，(kT)x=k(Tx) 负变换：
(
−
T
)
x
=
−
(
T
x
)
(-T)\boldsymbol{x} = -(T\boldsymbol{x})
(−T)x=−(Tx) （6） 线性变换的乘积
T
1
T
2
：
∀
x
∈
V
，
(
T
1
T
2
)
x
=
T
1
(
T
2
x
)
T_1T_2：\forall \boldsymbol{x} \in V，(T_1T_2)\boldsymbol{x} = T_1(T_2\boldsymbol{x})
T1T2：∀x∈V，(T1T2)x=T1(T2x) （7） 逆变换
T
−
1
：
∀
x
∈
V
T^{-1}：\forall \boldsymbol{x} \in V
T−1：∀x∈V，若存在线性变换
S
S
S 使得
(
S
T
)
x
=
(
T
S
)
x
=
x
(ST)\boldsymbol{x} = (TS)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}
(ST)x=(TS)x=x，则称
S
S
S 为
T
T
T 的逆变换，即
S
=
T
−
1
S = T^{-1}
S=T−1 （8）线性变换的多项式：
T
n
=
T
T
⋯
T
⏟
n
，并规定
T
0
=
T
e
f
(
t
)
=
∑
n
=
0
N
a
n
T
n
→
f
(
T
)
x
=
∑
n
=
0
N
a
n
T
n
x
(1-3)
T^n = \underbrace{TT \cdots T}_{n}，并规定 T^0 = T_e \\ f(t) = \sum_{n=0}^{N}a_nT^n \to f(T)\boldsymbol{x} = \sum_{n=0}^{N}a_nT^n\boldsymbol{x} \tag{1-3}
Tn=n
TT⋯T，并规定T0=Tef(t)=n=0∑NanTn→f(T)x=n=0∑NanTnx(1-3) 注： 和矩阵的乘积一样，线性变换的乘积不满足交换律；不是所有的变换都具有逆变换，只有满秩变换才有逆变换，
S
T
=
T
e
ST = T_e
ST=Te。
1.2 线性变换的矩阵表示
1. 推导 设
T
T
T 是线性空间
V
n
V_n
Vn 的线性变换，
x
∈
V
n
\boldsymbol{x} \in V_n
x∈Vn，且
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
\boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}
x1,x2,⋯,xn 是
V
n
V_n
Vn的一个基，则有：
x
=
a
1
x
1
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
n
x
n
T
x
=
a
1
(
T
x
1
)
+
a
2
(
T
x
2
)
+
⋯
+
a
n
(
T
x
n
)
(1-4)
\boldsymbol{x} = a_1\boldsymbol{x_1}+a_2\boldsymbol{x_2}+ \cdots +a_n\boldsymbol{x_n} \\ \quad T\boldsymbol{x} = a_1(T\boldsymbol{x_1})+a_2(T\boldsymbol{x_2})+ \cdots +a_n(T\boldsymbol{x_n}) \tag{1-4}
x=a1x1+a2x2+⋯+anxnTx=a1(Tx1)+a2(Tx2)+⋯+an(Txn)(1-4) 这表明，
V
n
V^n
Vn 中任一向量
x
\boldsymbol{x}
x 的象由基象组
T
x
1
，
T
x
2
，
⋯
，
T
x
n
T\boldsymbol{x_1}，T\boldsymbol{x_2}，\cdots，T\boldsymbol{x_n}
Tx1，Tx2，⋯，Txn 唯一确定。因为基象组仍属于
V
n
V_n
Vn，故可令
{
T
x
1
=
a
11
x
1
+
a
21
x
2
+
⋯
+
a
n
1
x
n
,
T
x
2
=
a
12
x
1
+
a
22
x
2
+
⋯
+
a
n
2
x
n
,
⋯
⋯
T
x
n
=
a
1
n
x
1
+
a
2
n
x
2
+
⋯
+
a
n
n
x
n
,
(1-5)
\begin{cases} T\boldsymbol{x_1} = a_{11}\boldsymbol{x_1} + a_{21}\boldsymbol{x_2} + \cdots + a_{n1}\boldsymbol{x_n},\\ T\boldsymbol{x_2} = a_{12}\boldsymbol{x_1} + a_{22}\boldsymbol{x_2} + \cdots + a_{n2}\boldsymbol{x_n}, \\ \qquad\qquad\qquad\quad\cdots \cdots \\ T\boldsymbol{x_n} = a_{1n}\boldsymbol{x_1} + a_{2n}\boldsymbol{x_2} + \cdots + a_{nn}\boldsymbol{x_n}, \end{cases} \tag{1-5}
⎩
⎨
⎧Tx1=a11x1+a21x2+⋯+an1xn,Tx2=a12x1+a22x2+⋯+an2xn,⋯⋯Txn=a1nx1+a2nx2+⋯+annxn,(1-5) 即
T
x
i
=
∑
j
=
1
n
a
j
i
x
i
（
i
=
1
，
2
，
⋯
，
n
）
(1-6)
T\boldsymbol{x_i}=\sum_{j=1}^{n}a_{ji}\boldsymbol{x_i} \qquad （i= 1，2，\cdots，n）\tag{1-6}
Txi=j=1∑najixi（i=1，2，⋯，n）(1-6) 采用矩阵乘法的形式，式(1-5)可表示为
T
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
=
d
e
f
（
T
x
1
,
T
x
2
,
⋯
,
T
x
n
）
=
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
A
(1-7)
T(\boldsymbol{x_1}, \boldsymbol{x_2}, \cdots, \boldsymbol{x_n}) \overset{def}{=} （T\boldsymbol{x_1}, T\boldsymbol{x_2}, \cdots, T\boldsymbol{x_n}）= (\boldsymbol{x_1}, \boldsymbol{x_2}, \cdots, \boldsymbol{x_n})\boldsymbol{A} \tag{1-7}
T(x1,x2,⋯,xn)=def（Tx1,Tx2,⋯,Txn）=(x1,x2,⋯,xn)A(1-7) 其中
A
=
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
]
(1-8)
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} \tag{1-8}
A=⎣
⎡a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋮⋯a1na2nann⎦
⎤(1-8)
矩阵
A
\boldsymbol{A}
A 的第
i
i
i 列恰是
T
x
i
T\boldsymbol{x_i}
Txi 的坐标(
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
i = 1, 2, \cdots, n
i=1,2,⋯,n)。
式(1-7)中的矩阵
A
\boldsymbol{A}
A 称为
T
T
T 在
V
n
V_n
Vn 基
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
\boldsymbol{x_1}, \boldsymbol{x_2}, \cdots, \boldsymbol{x_n}
x1,x2,⋯,xn 下的矩阵，简称
A
\boldsymbol{A}
A 为
T
T
T 的矩阵。 注： 对于任意
n
n
n 阶矩阵
A
\boldsymbol{A}
A 存在唯一的一个线性变换
T
T
T。所以线性变换可以用矩阵来表示。
T
0
T_0
T0 的矩阵为
O
\boldsymbol{O}
O，
T
e
T_e
Te 的矩阵为
I
\boldsymbol{I}
I，
T
m
T_m
Tm 的矩阵为
m
I
m\boldsymbol{I}
mI（数量矩阵）。
详细推导，请阅读：线性代数笔记——线性变换及对应矩阵。 2. 定理
定理一：设
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
\boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}
x1,x2,⋯,xn 是
V
n
V^n
Vn 的一个基，
T
1
、
T
2
T_1、T_2
T1、T2 在该基下的矩阵分别为
A
、
B
\boldsymbol{A、B}
A、B。则有： （1）
(
T
1
+
T
2
)
[
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
]
=
[
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
]
(
A
+
B
)
(T_1 + T_2)[\boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}] = [\boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}](\boldsymbol{A+B})
(T1+T2)[x1,x2,⋯,xn]=[x1,x2,⋯,xn](A+B) （2）
k
T
[
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
]
=
[
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
]
(
k
A
)
kT[\boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}] = [\boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}](k\boldsymbol{A})
kT[x1,x2,⋯,xn]=[x1,x2,⋯,xn](kA) （3）
(
T
1
T
2
)
[
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
]
=
[
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
]
(
A
B
)
(T_1 T_2)[\boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}] = [\boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}](\boldsymbol{AB})
(T1T2)[x1,x2,⋯,xn]=[x1,x2,⋯,xn](AB) （4）
T
−
1
[
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
]
=
[
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
]
A
−
1
T^{-1}[\boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}] = [\boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}]\boldsymbol{A}^{-1}
T−1[x1,x2,⋯,xn]=[x1,x2,⋯,xn]A−1
定理二：设线性变换
T
T
T 在
V
n
V^n
Vn 的基
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
\boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}
x1,x2,⋯,xn 下的矩阵
A
=
(
a
i
j
)
\boldsymbol{A}=(a_{ij})
A=(aij)，向量
x
\boldsymbol{x}
x 在该基下的坐标是
(
ξ
1
,
ξ
2
,
⋯
,
ξ
n
)
T
(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n)^T
(ξ1,ξ2,⋯,ξn)T，则
T
x
T\boldsymbol{x}
Tx 在该基下的坐标
(
η
1
,
η
2
,
⋯
,
η
n
)
T
(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n)^T
(η1,η2,⋯,ηn)T 满足
(
η
1
,
η
2
,
⋯
,
η
n
)
T
=
A
(
ξ
1
,
ξ
2
,
⋯
,
ξ
n
)
T
(1-9)
(\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_n)^T = \boldsymbol{A}(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n)^T \tag{1-9}
(η1,η2,⋯,ηn)T=A(ξ1,ξ2,⋯,ξn)T(1-9)
定理三： 设
V
n
V^n
Vn 的线性变换
T
T
T，对于
V
n
V^n
Vn 的两个基
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
\boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}
x1,x2,⋯,xn 和
y
1
,
y
2
,
⋯
,
y
n
\boldsymbol{y_1, y_2, \cdots, y_n}
y1,y2,⋯,yn 的矩阵依次是
A
\boldsymbol{A}
A 和
B
\boldsymbol{B}
B，并且
y
1
,
y
2
,
⋯
,
y
n
=
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
C
(1-10)
\boldsymbol{y_1, y_2, \cdots, y_n} = \boldsymbol{x_1, x_2, \cdots, x_n}\boldsymbol{C} \tag{1-10}
y1,y2,⋯,yn=x1,x2,⋯,xnC(1-10) 则可以得到：
B
=
C
−
1
A
C
\boldsymbol{B} = \boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{AC}
B=C−1AC。
矩阵和线性变换之间的关系：矩阵本身描述了一个坐标系，矩阵与矩阵的乘法描述了一个运动（线性变换）。换言之：如果矩阵仅仅自己出现，那么他描述了一个坐标系，如果他和另一个矩阵或向量同时出现，而且做乘法运算，那么它表示运动（线性变换）。
补充： 对线性变换直观的理解可以参考视频：线性代数的本质 - 03 - 矩阵与线性变换 和 线性代数的本质 - 04 - 矩阵乘法与线性变换复合，学习笔记：https://zhuanlan.zhihu.com/p/111123005
2 常用变换及其矩阵
2.1 正交变换与正交矩阵
1. 定义 设
V
V
V 是一个欧式空间，
T
T
T 是
V
V
V 上的一个线性变换，如果对于任何向量
x
,
y
∈
V
\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in V
x,y∈V，变换
T
T
T 恒能使下式成立（即不改变向量的內积）：
(
T
(
x
)
,
T
(
y
)
)
=
(
x
,
y
)
(2-1)
(T(\boldsymbol{x}), T(\boldsymbol{y})) = (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \tag{2-1}
(T(x),T(y))=(x,y)(2-1) 则称
T
T
T 是
V
V
V 上的正交变换。 2. 性质
定理一：设
T
T
T 是欧式空间
V
V
V 上的线性变换，下面写出的任一条件都是
T
T
T 成为正交变换的充要条件： （1）T 是向量长度保持不变，即：对任何
x
∈
V
\boldsymbol{x} \in V
x∈V，有
(
T
(
x
)
,
T
(
x
)
)
=
(
x
,
x
)
；
(2-2)
(T(\boldsymbol{x}), T(\boldsymbol{x})) = (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})；\tag{2-2}
(T(x),T(x))=(x,x)；(2-2) （2）任一组标准正交基经
T
T
T 变换后的象仍是一组标准正交基； （3）
T
T
T 在任意一组标准正交基下的矩阵
A
\boldsymbol{A}
A 满足
A
T
A
=
A
A
T
=
I
或
A
−
1
=
A
T
(2-3)
\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{T}=\boldsymbol{I} \quad 或 \quad \boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^{T} \tag{2-3}
ATA=AAT=I或A−1=AT(2-3)
定理二：在欧氏空间中，正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵；反过来，如果线性变换
T
T
T 在标准正交基下的矩阵是正交矩阵，则
T
T
T 是正交变换。
2.2 对称变换与对称矩阵
1. 定义 设
V
V
V 是一个欧式空间，
T
T
T 是
V
V
V 上的一个线性变换，如果对于任何向量
x
,
y
∈
V
\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in V
x,y∈V，变换
T
T
T 恒能使下式成立：
(
T
(
x
)
,
y
)
=
(
x
,
T
(
y
)
)
(2-4)
(T(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{y}) = (\boldsymbol{x}, T(\boldsymbol{y}))\tag{2-4}
(T(x),y)=(x,T(y))(2-4) 则称
T
T
T 是
V
V
V 上的一个对称变换。 2. 性质
定理一：
n
n
n 维欧氏空间
V
V
V 的线性变换
T
T
T 是对称变换的充要条件是：
T
T
T 在标准正交基下的矩阵
A
\boldsymbol{A}
A 是实对称矩阵，即有
A
T
=
A
\boldsymbol{A}^{T} = \boldsymbol{A}
AT=A。
2.3 Hermite变换及其矩阵
1. 定义 设
V
V
V 是一个酉空间，
T
T
T 是
V
V
V 上的一个线性变换，如果对于任何向量
x
,
y
∈
V
\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in V
x,y∈V，变换
T
T
T 恒能使下式成立（即不改变向量的內积）：
(
T
(
x
)
,
y
)
=
(
x
,
T
(
y
)
)
(2-5)
(T(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{y}) = (\boldsymbol{x}, T(\boldsymbol{y})) \tag{2-5}
(T(x),y)=(x,T(y))(2-5) 则称
T
T
T 是
V
V
V 上的一个Hermite变换（厄米特变换）。 2. 性质
定理一：Hermite变换在酉空间的标准正交基下的矩阵
A
\boldsymbol{A}
A 是Hermite矩阵，即
A
H
=
A
（
H
表示共轭转置）
\boldsymbol{A}^{H} = \boldsymbol{A}（H 表示共轭转置）
AH=A（H表示共轭转置）。
3 常见的特殊矩阵
3.1 正交矩阵
1. 定义 如果
n
n
n 阶实方阵
A
\boldsymbol{A}
A 满足
A
T
A
=
A
−
1
A
=
I
\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}
ATA=A−1A=I，则称
A
\boldsymbol{A}
A 为正交矩阵，简称正交阵。
2. 性质
正交矩阵是非奇异的，且
d
e
t
A
=
1
det\boldsymbol{A}=1
detA=1或-1，（行列式等于1的正交矩阵叫正常的，等于-1的叫非正常的）。正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵。两个正交矩阵的乘积仍为正交矩阵。实数域上方阵
A
\boldsymbol{A}
A是正交矩阵的充分必要条件是：A的行（或列）向量组为标准正交向量组。
3.2 对称矩阵
1. 定义 如果
n
n
n 阶方阵
A
\boldsymbol{A}
A 满足
A
T
=
A
\boldsymbol{A}^T=\boldsymbol{A}
AT=A，则称
A
\boldsymbol{A}
A 为对称矩阵，简称对称阵。 2. 性质
实对称矩阵的特征值都是实数。实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的。
3.3 酉矩阵
1. 定义 若
n
n
n 阶复矩阵
A
\boldsymbol{A}
A 满足
A
H
A
=
A
A
H
=
I
\boldsymbol{A}^H\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^H=\boldsymbol{I}
AHA=AAH=I，则称
A
\boldsymbol{A}
A 是酉矩阵。 2. 性质
酉矩阵的逆矩阵也是酉矩阵，两个有矩阵的乘积还是酉矩阵。
3.4 Hermite矩阵
1. 定义 设
A
∈
C
n
×
n
\boldsymbol{A} \in \boldsymbol{C}^{n \times n}
A∈Cn×n，若
A
H
=
A
\boldsymbol{A}^H=\boldsymbol{A}
AH=A，则称
A
\boldsymbol{A}
A 为Hermite矩阵。若
A
H
=
−
A
\boldsymbol{A}^H=-\boldsymbol{A}
AH=−A，则称
A
\boldsymbol{A}
A 为反Hermite矩阵。 2. 性质
Hermite矩阵的特征值都是实数。Hermite矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的。
3.5 正规矩阵
设
A
∈
C
n
×
n
\boldsymbol{A} \in \boldsymbol{C}^{n \times n}
A∈Cn×n，若
A
A
H
=
A
H
A
\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^H=\boldsymbol{A}^H\boldsymbol{A}
AAH=AHA，则称
A
\boldsymbol{A}
A 为正规矩阵。
3.6 幂等矩阵
设
A
∈
C
n
×
n
\boldsymbol{A} \in \boldsymbol{C}^{n \times n}
A∈Cn×n，若
A
2
=
A
\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}
A2=A，则称
A
\boldsymbol{A}
A 为幂等矩阵。
3.7 奇异矩阵
当
∣
A
∣
=
0
\lvert \boldsymbol{A} \rvert=0
∣A∣=0时，
A
\boldsymbol{A}
A 称为奇异矩阵，否则称非奇异矩阵。由上面两定理可知：
A
\boldsymbol{A}
A 是可逆矩阵的充分必要条件是
∣
A
∣
≠
0
\lvert \boldsymbol{A} \rvert \not= 0
∣A∣=0，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。
3.8 初等矩阵
初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。初等变换有三种：（1）交换矩阵中某两行（列）的位置；（2）用一个非零常数
k
k
k 乘以矩阵的某一行（列）；（3）将矩阵的某一行（列）乘以常数
k
k
k 后加到另一行（列）上去。
3.9 正定矩阵
正定矩阵是一种实对称矩阵。正定二次型
f
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
=
X
T
A
X
f(x_1, x_2, \cdots, x_n)=\boldsymbol{X}^T\boldsymbol{AX}
f(x1,x2,⋯,xn)=XTAX 的矩阵
A
\boldsymbol{A}
A 称为正定矩阵。 （1）广义定义：设
A
\boldsymbol{A}
A 是
n
n
n 阶方阵，如果对任何非零向量
z
\boldsymbol{z}
z，都有
z
T
A
z
>
0
\boldsymbol{z}^T\boldsymbol{Az} >0
zTAz>0，就称
A
\boldsymbol{A}
A 为正定矩阵。 （2）狭义定义：一个
n
n
n 阶的实对称矩阵
A
\boldsymbol{A}
A 是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量
z
\boldsymbol{z}
z，都有
z
T
A
z
>
0
\boldsymbol{z}^T\boldsymbol{Az} >0
zTAz>0。
4 矩阵的等价
如果矩阵
A
\boldsymbol{A}
A 经有限次初等变换变成矩阵
B
\boldsymbol{B}
B，就称矩阵
A
\boldsymbol{A}
A 与
B
\boldsymbol{B}
B 等价。等价描述的是一种关系，满足反身性对称性以及传递性。矩阵常见的等价关系有三个，相抵，相似以及合同。相抵是一种比较弱的等价关系；相似关系是比较强的等价关系；合同关系是另一种等价关系。
4.1 矩阵的相抵
1. 定义 设
A
\boldsymbol{A}
A 和
B
\boldsymbol{B}
B 都是
m
×
n
m \times n
m×n 阶矩阵，如果存在非奇异的
m
m
m 阶方阵
D
\boldsymbol{D}
D 和
n
n
n 阶方阵
C
\boldsymbol{C}
C，使
B
=
D
A
C
(4-1)
\boldsymbol{B}=\boldsymbol{DAC}\tag{4-1}
B=DAC(4-1) 成立，则称矩阵
A
\boldsymbol{A}
A 和
B
\boldsymbol{B}
B 是相抵的，记为
A
≃
B
\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}
A≃B。 相抵关系在几何上的解释：在两个不同维的线性空间
V
n
V^n
Vn 和
V
m
V^m
Vm 中，同一个线性算子
A
\mathscr{A}
A 在不同基所对应的矩阵
A
\boldsymbol{A}
A 和
B
\boldsymbol{B}
B 之间的关系。 2. 定理
定理一：相抵矩阵具有相同的秩。
4.2 矩阵的相似
1. 定义 如果
A
\boldsymbol{A}
A 与
B
\boldsymbol{B}
B是数域
K
K
K 上的两个
n
n
n 阶方阵，如果存在非奇异的
n
n
n 阶方阵
C
\boldsymbol{C}
C，使得
B
=
C
−
1
A
C
(4-2)
\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}^{-1}\boldsymbol{AC} \tag{4-2}
B=C−1AC(4-2) 成立，则称矩阵
A
\boldsymbol{A}
A 和
B
\boldsymbol{B}
B 是相似的，记为
A
∼
B
\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}
A∼B。 几何解释：同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反之。如果两个矩阵相似，它们可以看做是同一个线性变换在两个不同基下的矩阵。
2. 定理
定理一：相似矩阵具有反身性，对称性与传递性。定理二：相似矩阵有相同的迹。定理三：相似矩阵有相同的特征多项式，特征值，行列式、秩。定理四：相似矩阵有相同的最小多项式。
4.3 矩阵的合同
1. 定义 设
A
\boldsymbol{A}
A 与
B
\boldsymbol{B}
B是两个
n
n
n 阶方阵，如果存在非奇异的
n
n
n 阶方阵
C
\boldsymbol{C}
C，使得
B
=
C
T
A
C
(4-3)
\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{AC} \tag{4-3}
B=CTAC(4-3) 成立，则称矩阵
A
\boldsymbol{A}
A 和
B
\boldsymbol{B}
B 是相合（或合同）的。
2. 定理
定理一：合同矩阵具有反身性，对称性与传递性。定理二：合同矩阵有相同的秩、正负惯性指数。定理三：与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵.定理四：数域
K
K
K 上任一对称矩阵都合同于一个对角矩阵。
小结： 总之，相抵、相似、合同反映了两矩阵之间的三种内在联系，这三种关系是既有区别又有联系的，相似与合同只不过是相抵的特殊情况，而且相似与合同只有在
C
T
=
C
−
1
\boldsymbol{C}^{T}=\boldsymbol{C}^{-1}
CT=C−1 时（即
C
\boldsymbol{C}
C为正交阵）才一致。
A
\boldsymbol{A}
A 与
B
\boldsymbol{B}
B 相抵
⟺
P
A
Q
=
B
(
P
,
Q
可逆
)
\Longleftrightarrow \boldsymbol{PAQ} = \boldsymbol{B}(\boldsymbol{P, Q}可逆)
⟺PAQ=B(P,Q可逆)：
⟺
A
\qquad\qquad\quad\quad\Longleftrightarrow \boldsymbol{A}
⟺A 可经由初等变换化为
B
\boldsymbol{B}
B
⟺
A
与
B
\qquad\qquad\quad\quad\Longleftrightarrow \boldsymbol{A} 与\boldsymbol{B}
⟺A与B 同型且同秩
⟺
A
与
B
\qquad\qquad\quad\quad\Longleftrightarrow \boldsymbol{A}与 \boldsymbol{B}
⟺A与B 有相同的相抵标准形
A
\boldsymbol{A}
A 与
B
\boldsymbol{B}
B 相似
⟺
P
−
1
A
P
=
B
(
P
可逆
)
\Longleftrightarrow \boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{AP} = \boldsymbol{B}(\boldsymbol{P}可逆)
⟺P−1AP=B(P可逆)：
⟺
A
与
B
\qquad\qquad\quad\quad\Longleftrightarrow \boldsymbol{A} 与 \boldsymbol{B}
⟺A与B有相同的秩、特征多项式、特征值、行列式
⟺
B
\qquad\qquad\quad\quad\Longleftrightarrow \boldsymbol{B}
⟺B 矩阵可对角化
A
\boldsymbol{A}
A 与
B
\boldsymbol{B}
B 合同
⟺
P
T
A
P
=
B
(
P
可逆
)
\Longleftrightarrow \boldsymbol{P}^{T}\boldsymbol{AP} = \boldsymbol{B}(\boldsymbol{P}可逆)
⟺PTAP=B(P可逆)：
⟺
A
与
B
\qquad\qquad\quad\quad\Longleftrightarrow \boldsymbol{A} 与 \boldsymbol{B}
⟺A与B有相同的秩、正负惯性指数
参考
矩阵的合同、矩阵合同的性质、合同的应用、线性替换的矩阵上表示：https://blog.csdn.net/qq_43940950/article/details/117337790对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵、幂等矩阵、合同矩阵、正定矩阵：https://www.cnblogs.com/yuluoxingkong/p/8534563.html线性变换及其矩阵：https://web.xidian.edu.cn/qlhuang/files/20150705_224234.pdf